กฎการแจงผลตามเหตุ

(อังกฤษ: Modus ponens) หรือโมดัส โพเนนส์ บ้างก็เรียกว่า "การยืนยันข้อนำ" (affirming the antecedent) หรือ "กฎของการแยกออก" (law of detachment) เป็นกฏของการอนุมานแบบนิรนัยหลักซึ่งจะนำไปใช้กับการอ้างเหตุผลที่มีข้อตั้งแรกเป็นเงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์ ( P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q} ) และมีข้อตั้งที่สองเป็นข้อนำของเงื่อนไขนั้น ๆ ( P {\displaystyle P} ) โดยจะได้ข้อตาม (consequent) ของเงื่อนไขนั้น ๆ เป็นข้อสรุป ( Q {\displaystyle Q} ) รูปแบบของการอ้างเหตุผลนี้เป็นไปตามด้านล่าง:

1. P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q}   (ข้อตั้งแรกเป็นเงื่อนไข)
2. P {\displaystyle P}   (ข้อตั้งที่สองเป็นข้อนำ)
3. Q {\displaystyle Q}   (ข้อสรุปที่นิรนัยได้คือข้อตาม)

ในการให้เหตุผลแบบนิรนัยรูปแบบนี้ ข้อตาม ( Q {\displaystyle Q} ) เป็นข้อสรุปจากข้อตั้งที่เป็นเงื่อนไข ( P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q} ) และข้อนำของมัน ( P {\displaystyle P} ) แต่มว่าข้อนำนั้น ( P {\displaystyle P} ) ไม่สามารถเป็นข้อสรุปจากข้อตั้งที่เป็นเงื่อนไข ( P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q} ) และข้อตามได้ ( Q {\displaystyle Q} ) การอ้างเหตุผลแบบนี้เป็นตรรกะวิบัติ (logical fallacy) ที่เรียกว่าการยืนยันข้อตาม (affirming the consequent) หรือกลับกันเป็น "การแจงเหตุจากผล"

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการอ้างเหตุผลที่ใช้กฏการแจงผลตามเหตุ:

1. ถ้ามุม A {\displaystyle A} มีขนาด 90° < A {\displaystyle A} < 180° แล้วมุม A {\displaystyle A} เป็นมุมป้าน
2. A {\displaystyle A} = 120°
3. A {\displaystyle A} เป็นมุมป้าน

เนื่องจากการวัดค่ามุม A {\displaystyle A} มีขนาดมากกว่า 90° และน้อยกว่า 180° เราสามารถนิรนัยจากเงื่อนไข (ถ้า แล้ว) ได้ว่ามุม A {\displaystyle A} เป็นมุมป้าน แต่ถ้าเรารู้ว่ามุม A {\displaystyle A} เป็นมุมป้าน เราไม่สามารถนิรนัยจากเงื่อนไขได้ว่า 90° < A {\displaystyle A} < 180° อาจเป็นจริงได้ว่ามุมที่อยู่นอกพิสัยนี้ก็เป็นมุมป้านด้วย

กฎการแจงผลค้านเหตุ

(อังกฤษ: Modus tollens) หรือโมดัส โทลเลนส์ บ้างก็เรียกว่า "กฎของการแย้งสลับที่" (law of contrapositive) เป็นกฎของการอนุมานแบบนิรนัยซึ่งให้ความสมเหตุสมผลการอ้างเหตุผลที่มีข้อตั้งเป็นเงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์ ( P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q} ) และนิเสธของข้อตาม ( ¬ Q {\displaystyle \lnot Q} ) และมีข้อสรุปเป็นนิเสธของข้อนำ ( ¬ P {\displaystyle \lnot P} ) ต่างจากกฎการแจงผลตามเหตุ การให้เหตุผลด้วยการแจงผลค้านเหตุไปในทิศทางตรงกันข้ามกับเงื่อนไข นิพจน์ทั่วไปของการแจงผลค้านเหตุเป็นไปดังต่อไปนี้:

1. P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q} . (ข้อตั้งแรกเป็นเงื่อนไข)
2. ¬ Q {\displaystyle \lnot Q} . (ข้อตั้งที่สองเป็นนิเสธของข้อตาม)
3. ¬ P {\displaystyle \lnot P} . (ข้อสรุปที่นิรนัยได้คือนิเสธของข้อนำ)

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการอ้างเหตุผลที่ใช้กฏการแจงผลค้านเหตุ:

1. ถ้าฝนตก แล้วท้องฟ้าจะมีเมฆ
2. ท้องฟ้าไม่มีเมฆ
3. ดังนั้น ฝนไม่ตก

กฎของตรรกบท

(อังกฤษ: law of syllogism) ในแคลคูลัสเชิงประพจน์ กฎของตรรกบท ใช้เงื่อนไขสองข้อความและหาข้อสรุปด้วยการรวมสมมุติฐานของข้อความหนึ่งเข้ากับข้อสรุปของอีกข้อ รูปแบบทั่วไปเป็นดังต่อไปนี้:

1. P → Q {\displaystyle P\rightarrow Q}
2. Q → R {\displaystyle Q\rightarrow R}
3. เพราะฉะนั้น P → R {\displaystyle P\rightarrow R} .

ตัวอย่างเป็นดังต่อไปนี้:

1. ถ้าสัตว์เป็นยอร์กเชอร์เทร์เรียร์ แล้วมันเป็นสุนัข
2. ถ้าสัตว์เป้นสุนัข แล้วมันเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ำนม
3. เพราะฉะนั้น ถ้าสัตว์เป็นยอร์กเชอร์เทร์เรียร์ แล้วมันเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ำนม

เรานิรนัยข้อความสุดท้ายด้วยการรวมสมมุติฐานของข้อความแรกเข้ากับข้อสรุปของข้อที่สอง และเราก็อนุญาตให้ข้อความอาจเป็นเท็จได้ นี่เป็นตัวอย่างของสมบัติการถ่ายทอด (Transitive relation) ในคณิตศาสตร์ อีกตัวอย่างของสมบัติการถ่ายทอดคือภาวะเท่ากัน (Equality (mathematics)) ซึ่งกล่าวได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

1. A = B {\displaystyle A=B} .
2. B = C {\displaystyle B=C} .
3. เพราะฉะนั้น A = C {\displaystyle A=C} .